数据科学基础(八) 多维

📚 文档目录
随机事件及其概率
 随机变量及其分布
 期望和方差
 大数定律与中心极限定理
 数理统计的基本概念
 参数估计
 假设检验
 多维
 回归分析和方差分析
 降维

8.1 多维概率分布

分布函数: $F(x,y) = P{X \leq x,Y \leq y}$

密度函数: $\displaystyle f(x,y) = \frac{\partial F}{\partial x\partial y}$

边缘分布: 设 $(X, Y)$ 为二维随机变量,称一维随机变量 $X$ 或 $Y$ 的概率分布为二维随机变量 $(X, Y)$ 关于 $X$ 或 $Y$ 对应的边缘分布; 分别记作: $F{X}(x), F{Y}(y)_{}$

二维离散型边缘分布率:
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布律为 $p_{i j},$ 那么对千随机变量 $X, Y$ 其各自的分布律对于固定的 $i, j=1,2, \cdots,$ 满足

$P\left\{X=x_{i}\right\}=\sum_{j} p_{i j}=p_{i}$

则称 $p_{i} .$ 为随机变量 $(X, Y)$ 的边缘分布律。

二维连续型的边缘概率密度:
设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)$, 由于

$F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) d y d x, F_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) d x d y$

则

$\begin{array}{l} f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y \\ f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x \end{array}$

二维离散随机变量的条件概率:
设 $(X, Y)$ 是二维离散型随机变量，其分布律为 $P{X=x{i}, Y=y{j}}=p{i j},$ 其边缘概率分别为 $p{i}, p_{\cdot j} .$ 则条件概率定义为

$\displaystyle\begin{array}{l} P\left\{X=x_{i} \mid Y=y_{j}\right\}=\frac{P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}}{P\left\{Y=y_{j}\right\}}=\frac{p_{i j}}{p_{\cdot j}} \\ P\left\{Y=y_{j} \mid \mathrm{X}=x_{j}\right\}=\frac{P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}}{P\left\{X=x_{i}\right\}}=\frac{p_{i j}}{p_{i}} \end{array}$

独立性: 联合概率 = 边缘概率相乘

$\begin{aligned} &F(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y),\\ &P\{X \leq x, Y \leq y\}=P\{X \leq x\} P\{Y \leq y\} \end{aligned}$

几乎处处成立, 则随机变量$X,Y$是相互独立的

也可以用 $f(x,y)$ 可分离判断.